DA GALILEO A CAUCHY PER ELABORARE

LA LEGGE DI HOOKE

Mario Collepardi

Galileo Galilei (1564-1642), oltre ad essere un grande filosofo e forse il massimo scienziato italiano, può rivendicare altri tre primati tra loro in stretta relazione per le ragioni che mi accingo a spiegare.

Il primo è quello di essere stato il primo “pentito” della storia: pentito tra virgolette per indicare, cioè, che si era pentito solo per aver salva la vita quando, durante il papato di Urbano VIII, l’Inquisizione nel 1633 lo costrinse ad abiurare la sua tesi eliocentrica copernicana in favore di quella geocentrica tolemaica («Dialoghi dei Massimi Sistemi», 1630). Già nel 1600, d’altra parte, Giordano Bruno era stato condannato da Clemente VIII, e successivamente arso vivo, proprio per non aver chiaramente accettato di pentirsi dei suoi “errori”. Galileo, insomma, dopo aver a lungo tergiversato, capì che era il caso di pronunciarsi per un chiaro e pronto pentimento.

Il secondo primato di Galileo, conseguente al primo, è quello di essere stato il primo “pentito” condannato agli arresti domiciliari  nella sua villa ad Arcetri presso Firenze.

Per evitare altri spiacevoli contraddittori con il Sant’Uffizio, Galileo durante gli arresti domiciliari che lo costrinsero ad Arcetri fino alla morte, seguitò sì a studiare occupandosi, però, di argomenti molto meno celesti e per lui meno pericolosi. Nel 1638 pubblicò la sua ultima grande opera intitolata «Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica ed ai movimenti locali» (in appendice il frontespizio dell’opera). Ed è in questa opera, che Galileo forse non avrebbe mai portato a termine se non fosse stato condannato agli arresti domiciliari, che si può rintracciare il terzo primato che maggiormente in questa sede ci interessa: Galileo fu il primo ad occuparsi della resistenza meccanica in termini di rottura dei materiali sottoposti all’applicazione di un carico. Provò sperimentalmente, come era suo costume, che maggiore è la sezione di un certo materiale (di forma e geometria determinate: per esempio aste cilindriche), maggiore è il carico che occorre applicare alle due aste per provocare la rottura (Fig. 1).

Galileo forse intuì ma certamente non esplicitò il concetto di sforzo (s), inteso come forza per unità di superficie (Fig. 2), e si limitò ad esaminare solo il carico, cioè la forza F (Fig.2). Galileo non si accorse che dividendo il carico di rottura (100 Kg e 400 Kg rispettivamente nell’asta A e B di Fig. 1) per la sezione (S) ortogonale al carico (3.14 cm² e 12.56 cm² rispettivamente) si sarebbe ottenuto un unico valore:

che rappresenta (così diremmo noi oggi) lo sforzo (s) capace di provocare la rottura del materiale nelle condizioni di prova sperimentate (provini cilindrici, applicazione dello sforzo a trazione, ecc.)

Dovettero passare quasi due secoli perché il concetto di sforzo fosse chiarito dal francese Augustin Cauchy. Ma di questo parleremo più avanti.

• ogni solido si deforma (accorciandosi o allungandosi) quando è sollecitato e la deformazione si annulla se si rimuove la sollecitazione;

• è proprio questa deformazione (tensio) che consente al solido di sviluppare l’azione opposta (vis) alla sollecitazione.

Hooke sintetizzò le sue scoperte con il celebre aforisma «ut tensio, sic vis», (tanta la deformazione, tanta la forza). Il significato è il seguente: se tiro un elastico di gomma o la coda di un gatto (Fig. 3) ci si accorge visivamente della forza (vis) attraverso la deformazione reattiva (tensio*). Se invece la stessa sollecitazione è applicata ad un muro (Fig.4) la deformazione è meno o per niente visibile: eppure la deformazione esiste. La differenza tra la deformazione della coda del gatto e quella del muro sta nella diversa qualità (cioè elasticità) dei due materiali. Ma per cogliere questo significativo aspetto del problema si dovrà attendere Thomas Young, anch’egli britannico, più di un secolo dopo come si vedrà più avanti (vedi Tabella 1).

*tensio, dal latino tendere, originariamente significava "deformazione" nell'aforisma di Hooke; nel linguaggio ingegneristico attuale il termine "tensione" significa, invece, sforzo; la confusione semantica sembra propio trarre origine dal fatto che tensione (tensio) nel linguaggio di Hooke è "deformazione" reattiva che rappresenta lo sforzo (vis).

L’importanza della deformazione unitaria (e) apparirà più evidente se si applica lo stesso carico (P) a due provini dello stesso materiale con lunghezza originale diversa: l₀ e 2l₀ (Fig. 6). L’allungamento assoluto è diverso (maggiore nel provino più lungo) ma l’allungamento relativo (e) è lo stesso (a parità di sforzo e di materiale) indipendentemente dalla lunghezza originale (l₀ oppure l’= 2l₀).

 Nonostante questi limiti, il contributo di Hooke alla teoria dell’elasticità rimane di enorme importanza nel campo dell’ingegneria al punto che alla legge sull’elasticità verrà poi legato il suo nome (legge di Hooke). Tuttavia Newton, che sopravvisse ad Hooke di 25 anni, trascorse il resto della sua vita a denigrare il lavoro di Hooke per futili ragioni di carattere personale alle quali non sfuggono neppure i grandissimi uomini (leggere in Appendice “Quel buontempone di Hooke”).

TEORIA DELL'ELASTICITA'

In una relazione presentata all’Accademia delle Scienze Francesi nel 1822, il giovane matematico Augustin Cauchy (1789-1857) dimostrò che la deformazione, quella relativa (e) e non quella assoluta (D l) misurata da Hooke, era funzione (molto semplice) dello sforzo s = F/S e non della forza (F) (Fig. 2).

In sostanza tutti i legami tra gli atomi del materiale si deformano al pari del materiale stesso visto esternamente (Fig. 7). Da un punto di vista pratico è più facile misurare la deformazione del materiale visto esternamente a seguito di una sollecitazione a compressione, s_c, o a trazione, s _t  (Fig. 8), che non la variazione della distanza interatomica.

Fig. 7 -  L’applicazione di uno sforzo a compressione (s_c) schiaccia il solido (a destra) e deforma similmente tutte le distanze tra gli atomi.

Tabella 1 - Modulo elastico (E) di alcuni materiali da costruzione (vedere l’Appendice per le unità di misura).

Per quanto paradossale possa apparire, la mancata distinzione, da parte di Hooke, tra deformazione assoluta D l = l – l₀ e deformazione unitaria e = D l/l₀ bloccò per molto, fino ai tempi di Cauchy, la diffusione della “legge di Hooke” nella forma semplice oggi a noi nota:

s = Ee

dove E è la costante di proporzionalità tra sforzo e deformazione unitaria.

Thomas Young (1773-1829) fu il primo a capire l’importanza del fatto che E varia con il materiale (Tabella 1). E oggi si chiama modulo di elasticità o modulo di Young in suo onore su proposta fatta nel 1826 dal francese Claude Louis Navier (1785-1836) tre anni prima che Young morisse (in Appendice il riquadro “Quel pasticcione di Young”).

Se si confrontano due tipici materiali da costruzione come l’acciaio (molto rigido) ed il calcestruzzo (più deformabile) si può osservare (Tabella 1) che il primo presenta un valore di E di circa 20 GPa, cioè 7 volte circa maggiore del valore di E per il calcestruzzo (circa 30 MPa). Quale è il significato di questa differenza nel valore di E? Il significato è il seguente: per realizzare la stessa deformazione e nei due materiali occorre applicare uno sforzo (s ), sull’acciaio che è circa 7 volte maggiore dello sforzo applicato sul calcestruzzo.

DEFORMAZIONE DELLA STRUTTURA E DEL PROVINO

Le ragioni che non permisero ad Hooke di cogliere l’importanza della deformazione unitaria (e) rispetto a quella della deformazione assoluta (D l) risiedono nella difficoltà di misurare le deformazioni unitarie su strutture reali per lo più di forma solitamente complessa ed in presenza di sollecitazio ne anch’esse complesse.

Per studiare il comportamento dei diversi materiali da costruzione a seguito di sollecitazioni applicate, occorrono tre condizioni:

• sottoporre ad indagine una porzione ben definita di materiale “omogeneo” (mattone, acciaio, calcestruzzo, ecc.);

• la porzione ben definita di materiale “omogeneo” si deve presentare in forma di una geometria relativamente semplice (prisma, cilindro, cubo, ecc.) che prende il nome di provino;

• la sollecitazione applicata deve essere di tipo semplice, solitamente monoassiale (compressione o trazione) o comunque facilmente maneggiabile matematicamente (taglio, flessione).

Nella Fig. 9 sono mostrati tre tipici provini (prismatico per il mattone, cilindrico per l’acciaio, cubico per il calcestruzzo) sottoposti a sollecitazione rispettivamente di flessione (s_f), di trazione (s_t) e di compressione (s_c).

Stabilite le dimensioni del provino si potrà misurare più facilmente le sezioni trasversali agli sforzi e le deformazioni assolute. Si potrà quindi trasformare un carico P in uno sforzo una volta noto il regime tensionale nella sezione s (=P/S) ed una deformazione assoluta (D l) in una deformazione unitaria (D l/l₀).

Fig. 9 - Provini e tipi di sforzo per caratterizzare il comportamento dei  materiali.

Fig. 10 - Curva sforzo-deformazione (s-e)

APPENDICE