1. INTRODUZIONE

Il presente lavoro¹, che per ragioni di spazio si riportano alcune note esplicative, tratta il problema relativo alla ridistribuzione tensionale che si manifesta nelle sezioni di travi continue costituite da due parti reologicamente non omogenee. In particolare viene studiato il caso di solai alveolari prefabbricati² a cui viene, in tempi successivi, solidarizzata in opera una soletta collaborante in calcestruzzo ordinario (Figura 1).

¹ Per consultare la versione integrale di tale articolo, dove sono riportati tutti i passaggi matematici, si veda l’industria italiana del Cemento n. 853 – maggio 2009 – pagg. 394-407.
² Si tratta di un elemento ottenuto mediante un procedimento di estrusione. Possiede, insieme ad una buona capacità di adattamento alle diverse esigenze progettuali, una elevata capacità autoportante. L’armatura è costituita esclusivamente dai cavi di precompressione. Il suo comportamento taglio-resistente è affidato alla resistenza a trazione del calcestruzzo.

L’analisi a lungo termine di tali elementi rappresenta un problema di particolare interesse pratico, la cui corretta soluzione permette di effettuare la misura della sicurezza nella fase di esercizio in maniera affidabile. La soletta collaborante può riguardarsi quale vincolo diffuso interagente con l’elemento prefabbricato ed il suo comportamento è quello di vincolo posticipato relativamente al peso proprio strutturale mentre per le azioni applicate alla struttura già solidarizzata il comportamento della soletta è quello di vincolo preesistente. Viene formulato in forma generale il problema relativo ad elementi non omogenei nelle sezioni trasversali, indicandone le modalità risolutive, basate su algoritmi numerici e su formulazioni algebriche approssimate. Per questo secondo approccio il problema è trattato in dettaglio, valutando per una fra le tipologie di solaio alveolare più utilizzate nella pratica e per prefissati valori dello spessore della soletta collaborante, la variazione nel tempo del regime statico assumendo la suddetta soletta quale vincolo preesistente-posticipato. Si segnala, infine, la soluzione del problema che può essere perseguita introducendo il Modello di Dischinger.

2. LA VISCOSITA’ NEL CALCESTRUZZO

Gli effetti delle deformazioni differite (deformazioni viscose) del calcestruzzo prodotte da uno stato tensionale devono essere in linea di principio valutati con buona accuratezza in quanto influenzano sia lo stato di sforzo che quello di deformazione delle strutture in calcestruzzo armato e precompresso. Tale influenza è però differente in relazione alle tipologie strutturali, alla natura delle azioni applicate nonché alle possibili variazioni di schema statico che si verificano nel corso della vita e dell’utilizzo delle stesse strutture.

Allo scopo di poter individuare i casi in cui la viscosità gioca un ruolo importante sul regime statico/deformativo della struttura, è conveniente suddividere le strutture in omogenee e non omogenee:

- si definiscono omogenee le strutture formate da un solo materiale avente in ogni punto le stesse caratteristiche elastoviscose;

- si definiscono non omogenee le strutture formate da più materiali aventi caratteristiche elastoviscose differenti (tali disomogeneità possono sussistere nelle sezioni trasversali degli elementi strutturali o lungo il loro asse oppure nei vincoli esterni della struttura). Inoltre risulta comodo suddividere le azioni applicate in azioni statiche (forze) e geometriche (deformazioni o spostamenti impressi) e, per le prime, possono considerarsi i due casi di vincoli preesistenti oppure posticipati rispetto alla loro applicazione. In virtù delle distinzioni fatte, derivano le seguenti considerazioni riguardo al calcolo ed all’importanza degli effetti della viscosità sul regime di sforzo e deformazione nelle strutture in calcestruzzo. Alle strutture omogenee si applicano i ben noti teoremi della viscosità lineare che sintetizzano il comportamento viscoelastico di tali strutture. In particolare, il primo teorema della viscosità lineare afferma che in presenza di azioni statiche il regime tensionale non subisce variazioni nel tempo per effetto della viscosità rispetto a quello valutabile in fase elastica, mentre si manifesta un incremento delle deformazioni che aumentano nel tempo in modo affine a quello calcolato in fase elastica. Il secondo teorema della viscosità lineare afferma che in presenza di azioni geometriche lo stato di deformazione totale resta nel tempo uguale a quello valutabile in fase elastica, mentre le tensioni decrescono in modo affine a quelle calcolate in fase elastica. Infine in presenza di variazioni di schema statico e di azioni statiche, si manifesta il cosiddetto riacquisto del regime principale, in virtù del quale la struttura nel tempo tende a riacquistare, pur senza raggiungerlo completamente, il regime statico che essa avrebbe avuto se tutti i suoi vincoli fossero stati preesistenti all’applicazione delle azioni (regime principale). Lo stato tensionale nelle strutture omogenee è pertanto influenzato dalla viscosità solo nel caso di azioni di tipo geometrico o di vincoli posticipati. Nel primo caso si ha sempre diminuzione del regime tensionale prodotto dal rilassamento del materiale, mentre nel secondo caso tale regime può aumentare in alcune zone della struttura e diminuire in altre rispettando ovviamente l’equilibrio globale fra le azioni applicate e le reazioni dei vincoli preesistenti e posticipati. Al contrario in presenza di azioni statiche e di vincoli preesistenti la viscosità influenza solo le deformazioni.

Quando si considerano strutture non omogenee i teoremi precedenti, nonché le conseguenze che da essi discendono, non sono più applicabili e la risoluzione della struttura diviene più complessa. In questi casi si rende necessario studiare degli algoritmi numerici aventi validità generale. In alternativa, come accennato in precedenza, si può ricorrere all’applicazione di metodi risolutivi approssimati, quali ad esempio i metodi algebrizzati, che sostituiscono alla legge costitutiva viscoelastica di tipo integrale - equazione integrale di Volterra - una legge approssimata algebrica lineare in modo da ricondurre la risoluzione della struttura a quella di un problema elastico in presenza di una deformazione impressa nota che tiene conto approssimativamente delle deformazioni di origine viscosa accumulate nel materiale.

3. ANALISI ED EVOLUZIONE DELLO STATO DI TENSIONE

Si consideri lo schema per il calcolo delle forze di interazione in Figura 2:

Operando con il metodo forze l’equazione di congruenza nel tempo si scrive:

all’istante iniziale si ha:

da cui si ottiene la soluzione elastica del problema:

Poniamo uguale a ω il rapporto tra i coefficienti di influenza sezionali relativi alla soletta e alla lastra alveolare (per X=1):

e sostituendo nella [3.1] si ha:

da cui ricaviamo:

innanzitutto, per sezioni omogenee, si ha:

(primo teorema viscosità lineare)

per sezioni con una parte elastica, si ha

(nel nostro caso consideriamo come parte elastica la lastra alveolare in quanto più vecchia della soletta)
quindi:

Introducendo il coefficiente viscosità del Modello di Dischinger si ha:

considerando i due calcestruzzi e dopo semplici passaggi si ottiene:

integrando primo e secondo membro e indicando con C (è il termine di disomogeneità legato alla differenza di età e di valore asintotico della deformazione viscosa) l’espressione in parentesi, si ha:

in particolare per C=1 si hanno le strutture omogenee e per C=0 si hanno le strutture con parte elastica (nel nostro caso la lastra alveolare, avendo una stagionatura più lunga della soletta).

Ancora con riferimento al noto Modello di Dischinger e riprendendo la [3.3], si ha:

Per vincolo posticipato si ha:

sostituendo il termine χ, si ha:


da cui si ricava:



4. APPLICAZIONE NUMERICA

Consideriamo una lastra di solaio alveolare larga 120 cm (figura 1) e avente le seguenti caratteristiche geometriche ed inerziali:

A = 1601,6 cm² (area sezione)
I = 157931 cm⁴ (inerzia sezione)
e =13,34 = x_s (eccentricità del baricentro rispetto al lembo superiore della lastra) e una soletta collaborante di cui consideriamo tre spessori teorici:
S=2 cm – S=4cm – S=8 cm.

Di seguito (come specificato precedentemente) indichiamo con l’indice 1 il calcestruzzo relativo alla soletta e con l’indice 2 il calcestruzzo relativo alla lastra alveolare.

A questo punto calcoliamo il rapporto tra i coefficienti di influenza sezionali ω attraverso la [3.2 bis], con una forza di interazione soletta – solaio pari a uno (Figura 2 ):

con

sostituendo nell’espressione di ω, si ha

dividendo numeratore e denominatore per e ponendo pari a 0.85 il rapporto fra i moduli elastici dei due calcestruzzi, si ottiene:

in definitiva, lasciano lo spessore della soletta come parametro libero, si ha:

Facendo variare lo spessore s della soletta (2 cm - 4 cm – 8 cm), si ottengono i relativi valori di ω:



A questo punto, con il modello di Dischinger, calcoliamo il coefficiente di disomogeneità C (rappresentato dal termine in parentesi quadra) al variare dell’intervallo di tempo in giorni

e ponendo pari a il rapporto tra i coefficienti di viscosità alla Dischinger, e pari a β giorni^-1 il termine che compare come esponente.

Sostituendo, quindi, nell’espressione precedente, si ricava il termine C

C=0,74 - C=0,69 - C=0,59- C=0,51- C=0

Infine facendo variare i termini ω (in funzione dello spessore della soletta) e C, tracciamo le curve che descrivono l’evoluzione dello stato tensionale.

Nelle pagine che seguono vengono riportati i grafici relativi alle funzioni X₁/X₁₀ (evoluzione dello stato tensionale) e della funzione.

EVOLUZIONE DELLO STATO TENSIONALE

EVOLUZIONE DELLO STATO TENSIONALE PER VINCOLO POSTICIPATO

5. CONCLUSIONI

Dall’analisi dei grafici si possono trarre i seguenti risultati che hanno, in qualche modo, interesse nella pratica professionale:

1. Evoluzione dello stato tensionale
per ω=0 → δ11⁽¹⁾ =0 → soletta rigida → assenza di ridistribuzione
per ω=0 → δ11⁽²⁾ =∞ → solaio infinitamente deformabile → assenza di ridistribuzione

2. Evoluzione dello stato tensionale per vincolo posticipato
per ω=0 → δ11⁽¹⁾ =0 → soletta rigida → massimo riacquisto
per ω=0 → δ11⁽²⁾ =∞ per δ⁽¹⁾ qualsiasi → il vincolo soletta è sempre rigido → massimo riacquisto.

Inoltre, con riferimento alla curva ω di fig. 9, si può concludere:

a) se ω aumenta, lo spessore della soletta diminuisce e si tende verso la massima ridistribuzione tensionale e il minimo riacquisto;
b) se ω diminuisce, lo spessore della soletta aumenta e si tende verso la minima ridistribuzione tensionale e il massimo riacquisto.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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• F. Mola, Analisi generale in fase visco-elastica lineare di strutture e sezioni a comportamento reologico non omogeneo, Studi e Ricerche Vol. 8, 1986, Corso di perfezionamento per le Costruzioni in Cemento armato F.lli Pesenti, Politecnico di Milano.

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